1. Дан параллелепипед ABCDEFGH. У сумму векторов BC + GH +
DA + AE

s(abcd) = (a+b)*h/2

s(amnd) = (b+x)*h/2 = (a+b)*h/4

s(mbcn) = (a+x)*(h-h)/2 = (a+b)*h/4

выразив h из второго уравнения и подставив в третье, получим:

(a+x)(2b+2x-a-b) = (a+b)(b+x)

2x^2 = a^2 + b^2

x = кор( (a^2 + b^2)/2)

медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, так как середина гипотенузы - центр описанной окружности.

найдем гипотенузу по т. пифагора:

с = кор(144 + 256) = кор(400) = 20

медиана m = с/2 = 10

ответ: 10 см.

если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон, то образуется равнобедренный прямоугольный треугольник и меньший угол равен 45 градусов.

расстояние от точки к до прямой lm будет являться высотой, обозначим её как ко.

cos30градусов = km/lm

корень из 3/2 = 24,8/lm

lm=248/5*корень из 3

lk= 248/10*корень из 3 (как катет противолежащий углу в 30 градусов)

s треуг.= 1/2*lk*km*sin90градусов

s треуг.= 1/2*(248/10*корень из 3)*(124/5)= 7688/25*корень из 3

s треуг. = 1/2*lm*ko

ko= (7688/25*корень из 3)/(248/10*корень из 3) = 12,4

ответ: 12, 4 дм.