Сторона правильного восьмиугольника a1a2a3a4a5a6a7a8 равна 6. найдите диагонали a1a3 a1a4 a1a5

ответ:

[tex]a_1a_3=12sin67,5^{\circ}\\ \\ a_1a_4=6\sqrt{8sin^267,5^{\circ}-1}\\ \\ a_1a_5=12\sqrt{2}sin67,5^{\circ}[/tex]

объяснение:

пусть o -- центр правильного многоугольника.

если из точки o провести отрезки oa₁, oa₂ оa₈, то получится 8 равных равнобедренных треугольников (по трём сторонам). углы при вершинах этих треугольников будут равны и в сумме давать 360°. тогда:

1. [tex]\angle a_1oa_2=\frac{360^{\circ}}{8}= 45^{\circ}[/tex]

рассмотрим δoa₁a₂:

a₁a₂ = 6, ∠o = 45°

∠a₁ = ∠a₂ (свойство р/б δ)

[tex]\angle a_1=\frac{180^{\circ}-\angle o}{2} =\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2} =67,5^{\circ}[/tex]

применим теорему синусов:

[tex]\frac{a_1a_2}{sin\angle o}=\frac{a_2o}{sin\angle a_1}\\ \\ \frac{6}{sin 45^{\circ}}=\frac{a_2o}{sin67,5^{\circ}}\\ \\ a_2o=\frac{6sin67,5^{\circ}}{sin45^{\circ}}=\frac{6sin67,5^{\circ}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=6\sqrt{2}sin67,5^{\circ}[/tex]

2. a₁a₅ = 2a₁o = 2 * 6√2 sin67,5° = 12√2 sin67,5°

3. рассмотрим δa₁a₃o:

∠a₁oa₃ = 2∠a₁oa₂ = 90°

a₁o = oa₃ = 6√2 sin67,5°

в р/б прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2, т.е.

a₁a₃ = √2 * 6√2 sin67,5° = 12 sin67,5°

4. рассмотрим δa₁a₄a₅:

a₁a₅ = 12√2 sin67,5°,   a₄a₅=6

∠a₁a₄a₅ = 90°

по теореме пифагора найдём гипотенузу a₁a₄:

[tex]a_1a_4=\sqrt{(a_1a_5)^2-(a_4a_5)^2}=\sqrt{(12\sqrt{2}sin67,5^{\circ})^2-6^2}=\\ \\ =\sqrt{144\cdot2sin^267,5^{\circ}-36}=\sqrt{36(8sin^267,5^{\circ}-1)}=6\sqrt{8sin^267,5^{\circ}-1}[/tex]

расмотрим треугольники адб и дбс

ад=сб по условию,

углы адб и двс   тоже равны по условию,

прямая дб общая

следовательно треугольники равны по двум сторонам и углу между ними,

следовательно аб=сд