Вариант 1
1. дан правильный тетраэдр abcd, в котором точки k, е. р. м - середины ребер соответственно ad, dc, вс и ав.
а) заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
6) найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью kmf, если ребро тетраэдра а.
ne | прямые расположение прямых | величина угла между прямыми
| 1 | kf и mp
2 kf и во
kp и mf
4 | bf и mp
| 5 | кр и bc
6 см и kf
3
2. дан куб abcdabcd, диагональ bad которого равна 8. точка к делит ребро вісів отношении 3: 5, считая от
в. через точку к проведена прямая параллельно прямой вір. найдите длину отрезка этой прямой, заключённого
внутри куба.
3. основание пирамиды мавсd – параллелограмм авсо. точка р- середина вс. докажите, что в плоскости мос
не существует прямой, параллельной прямой ap.

авсд -основание р вершина пирамиды, т.о центр основания

ав=2lsin(α/2)

ас=ав√2=2√2lsin(α/2)

со=ас/2

ро=√(рс²-со²)=√(l²-2l²sin²(α/2))=l√(1-2sin²(α/2))=h

r=ав

v=πr²h/3, подставте сами, слишком много буквенных символов

!

пусть внешний угол х тогда внутренний 3х , они смежные и их сумма 180   х+3х=180 х=45. значит внешний угол 45 . найдём сколько сторон в многоугольнике . сумма свех внешних углов 360   360: 45=8. значит это восьмиугольник. его периметр 96. найдём сторону 96: 8= 12 см.

пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда два внутренних угла равны 4k и 7k, а третий угол равен (4k+7k)=121, 11k=121

k=11

значит углы равны

1.   4k=4*11=44°

2. 7k=7*11=77°

3.   180-11k=180-121=59°

по расширенной тееореме синусов

a\sin a=b\sin b=c\sin c=2*r

a=2*r*sin a

a=60 градусов

а=2*10*sin 60=10*корень(3)

сумма углов треугольника равна 180 градусов

третий угол равен c=180-60-15=105

площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

s=1\2*a*b*sin c=1\2a*2r*sin b*sin c=a*r*sin b*sin c

s=10*корень(3)*10*sin 15*sin 105=

=50*корень(3)*sin 30=25*корень(3)

(воспользовались тригонометричискими формулами и двойного угла

sin(90+a)=cos a

2*sin a* cos a=sin (2*a)

sin 105=sin (90+15)=cos 15

2sin 15*cos15=sin 30)

ответ: 25*корень(3)