Дан равнобедренный треугольник abc с основанием ac у которого вс=8 см, угол а : углу в=1: 4найдите площадь треугольника авс

ответ:

16√3 см²

объяснение:

дано: δавс - равнобедренный, вс=ав=8 см.

∠а/∠в=1/4.

найти s(авс).

пусть ∠а=∠с=х° т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны

тогда ∠в=4х°.

проведем высоту вн, которая является и биссектрисой ∠в по свойству высоты равнобедренного треугольника.

тогда ∠авн=1/2 ∠в=2х°

рассмотрим δавн - прямоугольный, ∠а+∠авн=90° по свойству острых углов прямоугольного треугольника. составим уравнение:

х+2х=90;   3х=90;   х=30.   ∠а=30°, тогда вн=1/2 ав = 8: 2=4 см по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

по теореме пифагора ан=(√ав²-вн²)=√(64-16)=√48=4√3 см.

ас=2 ан=4√3 * 2 = 8√3 см

s(авс)=1/2 * ас * вн = 1/2 * 8√3 * 4 = 16√3 см²

из теоремы пифагора, имеем

(kp)^2=(tk)^2+(pt)^2=(7)^2+(7*sqrt(3))^2=49+147=196

kp=14

cos(k)=kt/pk=7/14=1/2

k=60 градусов

сторона данного треугольника  равняется 18/3=6.

так - как в правильном треугольнике пересечение биссектрис, медиан и высот является центром окружности, можно найти её радиус. радиус:   сos (30°) = (√3)/2=3/r , следовательно r=6/√3.

r –   радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника.

площадь окружности:   s= πr2= π (6/√3 )2 = π*36/3=12π

ответ : 12π