Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 2√3 см, а радіус кола, вписаного у нього, - 3 см. знайдіть сторону многокутника та кількість сторін многокутника.

значит, найдём полупериметр р=(a+b+c)/2=(13+13+10)/2=18 см. радиус вписанной окружности равіняется r=корень((р-а)*(р-b)*(p-c)/p)=корень(18-13)*(18-13)*(18-10)/18)=корень(5*5*8/18)=10/3 см

против бо`льшей стороны в треугольнике лежит бо`льший угол.

наибольшая сторона равна 8.

введём обозначения: a=8, b=5, c=4, m(a)-медиана к стороне а.

для вычисления длины медианы можно применить формулу:

m(a)=1/2*sqrt{ 2b^2 + 2c^2 - a^2 }

m(a)=1/2*sqrt{ 2*5^2 + 2*4^2 - 8^2 }= 1/2*sqrt{18}=3sqrt{2}/2

решение: пусть асв - данный треугольник с прямым углом с и острым углом а=60 градусов, акмр - данный ромб, веришна к лежит на стороне ас, вершина м лежит на стороне вс, вершина р лежит на стороне ав.

тогда ак=км=рм=ар=6 см.

угол асм=180-угол а=180-60=120

угол всм=180-угол асм=180-120=60 градусов (как смежный)

угол в=90-угол а=90-60=30 градусов

значит угол вмс=180-угол в-угол всм=180-30-60=90 градусов

из прямоугольного треугольника вмс:

вр=мр\соs 60=6\ (1\2)=12 см

ав=ар+рв=6+12=18 см

ас=ав*сos 60=18*1\2=9 см

вс=ав*sin 60=18*корень(3)\2=9*корень(3)

ответ: 9 см, 9*корень(3) см, 18 см

10. вписанная в трапецию окружность делит одну из боковых сторон на отрезки 4см и 9см. найдите площадь трапеции, если одно из оснований равно 7см.

решение: пусть авсd - данная трапеция, k, l, m, n, - точки касания вписанной в трапецию окружности соотвественно со сторонами ab,bc,cd,ad. an=4 dn=9 ab= 7

по свойству что касательные проведенные к окружности из одной точки имеюют равные длины:

an=ak=4

bk=bl=5

cl=cm

dn=dm=9

bk=ab-ak=7-4=3

проведем высоту af к основанию cd.

af=km

ak=fm=4

df=dm-fm=9-4=5

ad=an+dn=4+9=13

по теореме пифагора

af^2=ad^2-df^2=13^2-5^2=12

проведем высоту bh к основанию ad:

bh=af=12

kb=mh=3.

пусть cl=cm=x

cm=x-3

тода по теореме пифагора

12^2=(3+x)^2 - (x-3)^2

144=9+6x+x^2-x^2 +6х-9

144=12x

x=144\12=12

сd=dm+mh+ch=9+12=21

площадь трапеции abcd равна : (ab+cd)\2*af=(7+21)\2*12=168 см^2

ответ: 168 см^2

если прямая принадлежит плоскости то любая ее точка принадлежит плоскости

если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости

поэтому возможные варианты

точки а, в, д могут лежать на одной прямой(прямая лежит в плоскости альфа)

любая прямая, что проходит через три из данных точек будет лежать в плоскости альфа (так как будет содержать две точки, что в ней лежат)

[если прямая проходит через две из точек а, в, и д, то она лежит в плоскости альфа, поэтому провести плоскость через такую прямую (ав, ад или вд) и точку с невозможно, иначе точка с попадет в плоскость альфа]