Дан куб abcda1b1c1d1. используя метод координат, найдите угол между прямымы ab1 и a1d

Ребро куба примем за 1. введем систему координат с началом в точке а и осями ав, аd и аа1. найдем координаты нужных нам точек: а (0; 0; 0), а1(0; 0; 1), в1(1; 0; 1), d(0; 1; 0). найдем координаты и длины векторов: ав1=(1-0; 0-0; 1-0), т. е. ав1=(1; 0; 1), |ав1|=√1+0+1=√2  а1d=(0-0; 1-0; 0-1), т. е. а1d=(0; 1; -1), | а1d| = √0+1+1 = (ав1, а1d)=1*0+0*1+1*(-1)=-1  cos α = |(ав1, а1d)| / (|ав1| * | а1d|)  cos α = | -1 | / (√2 * √2) = 1/2  α = 60 градусов

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен 8.найдите периметр треугольника и радиус вписаной окружности. центр и описанной, и вписанной окружности правильного треугольника лежит в точке пересечения медиан ( высот/биссектрис). медианы точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. причем радиус описанной окружности содержит 2/3, радиус вписанной 1/3 медианы  ( высоты). следовательно, и радиусы описанной и вписанной окружности относятся так же: r: r=2: 1 r=8,  ⇒  r=8: 2= 4 высота данного треугольника h=8+4= 12 сторона треугольника  а=h: cos(60° )=8√3 периметр р=3*8√3=24√3  ответ: р=24√3 r=4

сторона шестиуголника равна а=р/6=48/6=8 см

тогда радиус окружности r=a=8 см

радиус окружности - половина диагонали квадрата по теореме пифагора сторона квадрата равна а²=r²+r²

а=r√2=8√2 см