Определите вид четырёхугольника abcd и напишите уравнение окружности вписанной в этот четырёхугольник если она существует, не используя построения abcd. a(1; 5) b(3; 1) c(1; -3) d(-1; 1)

Даны вершины четырехугольника:   a(1; 5), b(3; 1), c(1; -3) и d(-1; 1). сторона ав (модуль вектора): |ав|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20. сторона dc:   |dc|=√[())²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20. противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (по признаку -  отношения их координат ав{2; -4} и dc{2; -4} равны: 2/2=-4/-4=1). если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон. найдем стороны ad и вс (достаточно стороны ad, так как в параллелограмме противоположные стороны равны). |ad|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20. итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны). следовательно, в него можно вписать окружность. уточним. если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат. условие перпендикулярности векторов: векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: xa*xb + ya*yyb = 0 .  у нас вектор ав{2; -4}, вектор вс{-2; -4}. тогда -4+16 не равно нулю. значит авсd - ромб. диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами. найдем расстояние от вершины в(3; 1) до прямой ad. уравнение прямой ad: (x-xa)/(xd-xa)=(y-ya)/(yd-ya)  => (x-1)/(-2)=(y-5)/(-4) - каноническое уравнение. отсюда 2x-y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами а=2, в=-1, с=3. искомое расстояние (по формуле): d=|a*xb+b*yb+c|/√(a²+b²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5. это диаметр. радиус r=4/√5. центр (о) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба.  например, на середине диагонали  bd. найдем этот центр: о(1; 1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали). тогда уравнение окружности  (x-xc)²+(y-yc)²=r²: (x-1)²+(y-1)²=3,2.

Проверим отношения сходственных сторон:   ⇒  δabc ~  δa₁b₁c₁.

треугольник abd – прямоугольный. в нем ab – гипотенуза, откуда

 

cosa=ad/ab

ad=ab*cos(a)=12*cos(41)=12*0,7547=9,0564

sin(a)=bd/ab

bd=ab*sin(a)= 12*sin(41)=12* 0,6561=7,8732

 

sabcd=a*h=9,0564*7,8732=71,3 (приближенно)