Вправильной четырехугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов. длина бокового ребра равна 10 см. найти объем пирамиды.

пирамида правильная, значит в основании квадрат, все боковые ребра равны и высота проецируется в центр основания.

δasc - равнобедренный (sa = sc = 10 см) с углом 60° при основании, значит равносторонний,

ас = sa = 10 см.

so - высота пирамиды и высота равностороннего треугольника:

so = ac√3/2 = 10√3/2 = 5√3 см

площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей (как у любого ромба), а диагонали у него равны:

sabcd = ac²/2 = 100/2 = 50 см²

объем пирамиды:

v = 1/3 · sabcd · so = 1/3 · 50 · 5√3 = 250√3/3 см³

пусть abcd - ромб, т.o - точка пересечения диагоналей

в ромба диагонали перпендикулярные и в точке пересечения делятся пополам, то есть ao=oc=24/2=12 и bo=od=10/2=5, тогда по теореме пифагора

                ( ad)^2=( ao)^2+(od)^2

                  (ad)^2=144+25=169

                  ad=sqrt(169)=13 - сторона ромба

    s=d1*d2/2=10*24/2=5*24=120 - площадь ромба

из формулы s=(a*bsinальфа)/2 получаем: 20корень3=(8*10*sin угла в)/2, отсюда выводим синус угла в: sinb=(20/40)*корень3=(корень3)/2, отсюда получаем угол в=60 градусов.

ответ: 60 градусов.