Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6см и высота 9 см, боковые ребра равны между собой, и каждое содержит 13 см. найти высоту этой пирамиды.

боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны => основание высоты пирамиды h = центр описанной окружности радиуса r.из равнобедренного треуг.-основания получим: высота основания=9, она же медиана, из прямоугольного треуг (гипотенуза=r, катет=6/2=3, второй катет=9-r) по т.пифагора

(9-r)^2 + 3*3 = r^2

9*9 - 18r +r^2 + 3*3 - r^2 = 0

18r = 81+9

r = 90/18 = 5

из прямоугольного треуг. (гипотенуза=боковое ребро=13, катет=н пирамиды, второй катет=r) по т.пифагора h^2 = 13*13 - r^2 = 13*13 - 5*5 = (13-5)*(13+5) = 8*18 = 4*2*2*9

h = 4*3 = 12

боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны

это утверждение верно , если в основании лежит равносторонний треугольник и вершина проецируется в его центр. но по условию основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник

в пирамиде ребра b=13 см

в равнобедренном треугольнике 

- высота h= 9 см

- основание/сторона   a=6 м

боковая грань, которая опирается на сторону ( а) –это равнобедренный треугольник.

апофема  этой боковой грани по теореме пифагора   

a^2=b^2-(a/2)^2 =13^2-(6/2)^2=160 ;   a=4 √10 см

апофема(а)+противоположное ребро(b)+высота основания(h) – образуют

треугольник(abh) с вершиной , с вершиной пирамиды.

в треугольнике(abh) :

перпендикуляр из вершины пирамиды  на высоту основания(h)   – это высота

пирамиды (н).

угол < a между (h)  и (b)  напротив апофемы (а).

по теореме косинусов a^2 = h^2+b^2 -2*h*b*cos< a

cos< a = (h^2+b^2 –a^2) / (2*h*b)= (13^2+9^2 - 160) / (2*13*9)=5/13

тогда  sin< a = √ (1-(cos< a)^2) =√ (1-(5/13)^2)=12/13

площадь треугольника(abh) можно посчитать двумя способами

s ∆ = 1/2* h*h

s ∆ = 1/2* b*h*sin< a

приравняем правые части

1/2* h*h = 1/2* b*h*sin< a

h = b*sin< a = 13*12/13 =12 см

ответ  12 см