Имеется пять гирь различного веса, каждая из которых весит целое число граммов.
Известно, что две самые тяжёлые гири весят в два раза больше трёх других, а три
самые тяжёлые гири весят в восемь раз больше двух других. Найдите наименьшее
возможное значение суммарного веса всех гирь.
3. Имеется дробь 1/n. Семиклассник Семёнов каждую минуту прибавляет к её
числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь.
Семёнов утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000
шагов. Стоит ли ему верить?
4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено AB=BC=CD, и каждая из
диагоналей равна какой-то стороне. Найдите углы четырёхугольника. (ответ нужно
выразить в градусах)
5. Вершины 2019-угольника покрашены в два цвета: 1010 синих и 1009 красных.
Сторона с двумя красными вершинами помечена числом 2, сторона с двумя синими
вершинами помечена числом 1/2, а сторона с разноцветными вершинами помечена
числом 1. Найдите все возможные значения произведения всех чисел, которыми
помечены стороны.
6. Имеется клетчатая доска (2n+1)×(2n+1). В центральной клетке сидит таракан.
Семиклассник Семён хочет убить таракана и кидает в него камешками (не
обязательно на ту самую клетку, где находится таракан). Пока камешек летит,
таракан перебегает в любую соседнюю по стороне клетку. Камешек, попавший на
клетку с тараканом, убивает его. Если камешек попал на пустую клетку (без
таракана), то на эту клетку таракан заползать больше никогда не будет. (В частности,
если во все соседние с тараканом клетки уже попадали камешки, то таракан больше
никуда не перебегает.) Как только таракан попадает на край доски, Семён утрачивает
к нему интерес и перестаёт кидаться камешками. Найдите наименьший размер
доски, при котором Семён гарантированно добьётся своего.