Клетчатый многоугольник состоит из 100 клеток со стороной 1. Докажите, что его периметр не более 202.

Решение. Пронумеруем клетки многоугольника от 1 до 100: номер 1 — любая клетка, а каждый следующий номер ставим в свободную клетку, соседнюю по стороне с какой-нибудь из уже занумерованных. При этом будем следить за периметром, ограничивающим фигуру из уже занумерованных клеток. У фигуры из первой клетки периметр 4, а далее на каждом шаге он увеличивается не больше чем на 2. Действительно, у добавленной клетки одна сторона уже была учтена, более того, она попадет внутрь фигуры, поэтому вычтется, а добавится не более трех сторон. Итого общий периметр не превосходит 4 + 2 • 99 = 202.