Доведіть, що пряма, яка проходить через середини двох сторін трикутника, рівновіддалена від усіх його вершин.

В довільному ААВС KL — середня лінія, KL І AD.
Довести: KL рівновіддалена від вершин А, В і СААВС. Твердження задачі завідомо являеться неправильним і ми це зараз доведемо. Дійсно, найкоротша відстань від KL до вершини В — це висота ВН AKBL. Найближче до точок відрізка KL вершини А знаходиться точка К є KL, бо за основною властивістю сторін трикутника є нерівність АК < KN + AN (трикутник існує, коли кожна із сторін трикутника мас довжину меншу, ніж сума довжин двох інших сторін, тобто, найменша відстань від точки А — це довжина відрізка ВК). Так само найменша відстань від точок KL до вершини С — довжина відрізка 1C. За умовою KL — середня лінія ААВС, тому АК = KB і LC = BL. Тобто найменша відстань точок KL до вершин А, В і С ААВС становить: 1) від вершини В — довжина висоти ВН AKBL; 2) від вершин А і С — це довжини бокових сторін KB і BL AKBL відповідно, а це доводить: по-перше, в будь-якому реально   існуючому  трикутнику   висота
завжди коротша від бокових сторін ААВС, тобто ВИ < KB і КН коротша від бокової сторони BL AKBA (похила завжди довша за перпендикуляр, проведений з деякої фіксованої точки до однієї прямої а). В даному випадку — похила — це бічна сторона KB, а перпендикуляр — це висота ВН AKBL, тобто KB > ВН. Так само бокова KL •> ВН. Це очевидно. Що й потрібно довести. Нерівність відстаней від точок середньої лінії KL ААВС до його вершин А, В, €.