На одній стороні кута з вершиною в точці О (рис. 151) позначено точки A i В, а на другій - точки С i D так, що ОА = ОС, AB = CD. Доведіть, що промінь

Доведення:
Розглянемо ∆ОВС i ∆ODA.
1) ОС = ОА (за умовою);
2) ОВ = ОА + АВ, OD = ОС + CD, т. я.
ОА = ОС i АВ - СD, то OB = OD;
3) ∟O - спільний.
Отже, ∆ОВС = ∆ODA за I ознакою.
Розглянемо ∆АМВ i ∆CMD.
1) АВ = CD (за умовою);
2) ∟ABM = ∟CDM (т. я. ∆ОВС = ∆ODA);
3) ∟BAM = ∟BCM (як суміжні з рівними кутами ∆DAM = ∆ОСМ, т. я.
∆ОВС = ∆ODA).
Отже, ∆АМВ = ∆CMD за II ознакою.
Розглянемо ∆АОМ i ∆СОМ.
1) ОА = ОС (за умовою);
2) ∟ОАМ = ∟ОСМ (т. я. ∆ОВС = ∆ODA);
3) AM = СМ (т. я. ∆АМВ = ∆CMD).
Отже, ∆АОМ = ∆СОМ за I ознакою, з цього випливає, що ∟АОМ = ∟СОМ.
Це означае, що ОМ є 6ісектрисою ∟BOD.