Известно, что из n учеников спортом увлекаются a учеников, программированием b, математикой c, спортом и программированием d,

Решение. Пусть A —множество учеников, которые увлекаются спортом,
B — программированием, С - математикой.
Тогда |A| = 32, |B| = 21, |C| = 23, |A ∩ B| = 8, |A ∩ C| = 12, |B ∩ C| =4 |A ∩ B ∩ C| = 3
|(A ∩ B) ∪ ( B ∩ C) | = |A ∩ B| + |B ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 8 + 4 – 3 = 9
Тогда, только программированием занимается 21 – 9 = 12 учеников.
|(A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) | = |A ∩ C| + |B ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 12 + 4 – 3 = 13
Тогда, только математикой занимается 23 – 13 = 10 учеников.
По формуле включений и исключений для трёх множеств находим число учеников увлекающихся спортом, программированием или математикой:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B∩ C| = =32+21+23-8-12-4+3 = 55
Значит, ничем не увлекается 70 − 55 = 15 человек.
Ответ: 15.