Согласно условиям задачи, доход равен PQ = P(15000 − P) =
= –P^2 + 15000P, а затраты на производство Q единиц продукции составляют
Z = 3000Q + 5000000 = 3000(15000 − P) + 5000000 = 50000000 – 3000P(все расчёты ведутся в рублях).
Прибыль равна
PQ – Z = –P^2 + 15000P – 50000000 + 3000P =
= –P2 + 18000P – 50000000 = –(P – 9000)2 + 31000000. (1)
Как видим, прибыль выражается квадратичной функцией аргумента P, онадостигает наибольшего значения, если P = 9000.
В результате понижения начальной цены Pна 20 % она стала равной 0,8P. Проведя аналогичные вычисления для цены 0,8P, или подставив 0,8P вместо P в формулу (1) для вычисления прибыли, мы получим, что прибыль для пониженной цены равна–(0,8P – 9000)^2 + 31000000.
Согласно условиям задачи, прибыль не изменилась, составим уравнение:
–(P – 9000)2 + 31000000 = –(0,8P – 9000)^2 + 31000000,
(P – 9000)2 = (0,8P – 9000)^2,
откуда получим, чтоP = 0 илиP= 10000. Условиям задачи отвечает лишь второй корень.
Итак, начальная цена P равна 10000, после снижения на 20 % она стала равна 0,8P = 8000. Цену 8000 надо повысить до 9000, чтобы прибыль была наибольшей, т. е. её надо увеличить на ((9000 - 8000)∙100 %)/8000 = 12,5 %.
II вариант.Будем считать, что в приведённом выше решении прибыль выражается квадратичной функцией
y (x) = –x^2 + 18000x – 50000000 (2)
аргумента x (цена товара), и что с помощью этой функции формула (1) выражает прибыль y(P)= –P^2 + 18000P – 50000000для значения x= P первоначальной цены.
График функции (2) — парабола, абсцисса вершины которойx. = 9000. Это и есть ценаPнаиб. товара, при которой достигается наибольшая прибыль. График симметричен относительно прямой x = 9000. По условию задачи цена Pтовара снижена на 20 %, Сниженная цена равнаPсниж.= 0,8P.
Прибыль, полученная при цене P, оказалась равной прибыли, полученной при цене 0,8P, т. е. квадратичная функция (2) принимает одинаковые значения при x = P и при x = 0,8P.Это означает, что точки графика, соответствующие первоначальной цене товара x = P и сниженной его ценеx = 0,8P симметричны относительно прямой x = 9000 (рис. 1). Тогда Pнаиб. = (P+ 0,8P)/2 = 0,9P. Чтобы увеличить цену с 0,8P до 0,9P, её надо увеличить на ((0,9P - 0,8P)∙100%)/0,8P = 12,5 %.
Ответ.На 12,5 %.
Спасибо
Популярные вопросы