Почему в предложении. the radio stations entertain the students by playing all the latest music and chart hits. playing пишется с окончанием ing?

Потому что это герундий. иногда перед герундием может стоять предлог, в данном случае "by playing" означает "проигрывая" (деепричастие) или "путем проигрывания". 

At last holidays came! i was very happy!   i didn't have  to get up early in the morning and run to school. i could stay in the bed till midday. but i didn't want to sleep. there were a lot of things to do. the weather was fine so my friends and i went for a walk every day. it was fun! then i spent a month in the country where my grandfather and grandmother lived. it was great. i drank milk and ate a lot of tasty food which my granny prepared for me. i have many friends in this village because i go there every holidays. we played football and tennis every day! there is a small river near the forest and we swam when the weather was fine. it was great!   i liked my holidays very much.   наконец наступили  каникулы! я был счастлив!   я не должен был вставать рано утром и бежать в школу. я мог   оставаться в постели до полудня. но я не хотел спать. было так много дел. погода была хорошая, так что мои друзья и я ходили гулять каждый день. это было весело! затем я провел месяц в деревне, где   живут  мои дедушка и бабушка  . это было здорово. я пил молоко и ел много вкусной пищи, которую моя бабушка готовила для меня. у меня много друзей в этой деревне, потому что я езжу туда каждые каникулы. мы даже играли в футбол и теннис! около леса есть небольшая речка. мы купались, когда погода была хорошая. это было здорово!   мне понравились мои каникулы.