1) если функция возрастает на всей прямой, то её производная всегда положительна.
y' = 3x^2 + 3a = 3(x^2 + a)
при любом а> 0 производная корней не имеет, то есть y' > 0.
при а = 0 будет y = x^3 - тоже возрастает на всей прямой.
при a < 0 будет
y' = 3(x^2 + a) = 3(x - √(- + √(-a))
производная имеет 2 корня, значит, есть минимум и максимум.
ответ: a > = 0
2) y = (x+4)/x = 1 + 4/x.
график на 1 рисунке.
3) f(x) = x^2/e^x
значения на концах отрезка.
f(-1) = (-1)^2/e^(-1) = 1*e = e ~ 2,718
f(3) = 3^2/e^3 =9/e^3 ~ 0,45
экстремумы.
f'(x) = (2x*e^x-x^2*e^x)/e^(2x) = (2x - x^2)/e^x = 0
2x - x^2 = x(2 - x) = 0
x1 = 0; f(0) = 0/e^0 = 0 - минимум
x2 = 2; f(2) = 4/e^2 ~ 0,54 - максимум
наименьшее: f(0) = 0
наибольшее: f(-1) = e
4) это трудная , на производную.
я второй рисунок, из которого все понятно.
обозначим радиус сферы r, радиус основания конуса r, высоту h.
центр основания конуса обозначим о, центр сферы о'.
точку касания образующей конуса и сферы d. вершину конуса s.
угол наклона образующей к плоскости основания:
tg a = h/r; r = h/tg a
треугольник so'd подобен sao.
угол so'd = sao = a.
cos a = r/so' = r/(h-r)
объём конуса
v = 1/3*π*r^2*h = π/3*(h/tg a)^2*h = π/3*h^3/tg^2 a
теперь выразим tg^2 a через r и h.
cos^2 a = r^2/(h-r)^2
sin^2 a = 1 - r^2/(h-r)^2 = [(h-r)^2 - r^2]/(h-r)^2 = (h^2-2rh)/(h-r)^2
tg^2 a = (h^2-2rh)/r^2
подставляем в объём как функцию от h
v(h) = π/3*h^3*r^2/(h^2-2rh) = π/3*r^2*h^2/(h-2r)
берём производную от объёма по высоте h.
v'(h) = π/3*r^2*(2h(h-2r)-h^2*1)/(h-2r)^2
если объём минимальный, то производная равна 0.
π/3*r^2*(2h(h-2r)-h^2) = 0
2h^2 - 4hr - h^2 = 0
h^2 - 4hr = h*(h - 4r) = 0
h = 4r.
чтобы объём конуса был минимальным, его высота должна быть в 4 раза больше радиуса сферы.
найду ещё и радиус конуса.
tg^2 a = (h^2-2rh)/r^2 = (16r^2-8r^2)/r^2 = 8;
tg a = √8
r = h/tg a = 4r/√8 = 4√8*r/8 = √8*r/2 = 2√2*r/2 = r*√2
радиус конуса должен быть равен r*√2
Популярные вопросы