1. Для итоговой контрольной работы был создан тест из 9 заданий. Количество верных ответов. полученных каждым из 30 учащихся, было представлено в виде таблицы частот. Найдите пропущенное значение частоты

пусть в первом бидоне х л. краски, а в л. всего в двух +у=28 (это первое у равнение).

из первого взяли 3л., то в первом стало (х-3) л., а во второй 2л добавили, значит во втором стало (у+2)л., разница 7л, то (х-+2)=7.

имеем систему двух уравнений:

х+у=28

(х-+2)=7.

из первого уравнения х=28-у, подставляем во второе уравнения значение х:

(28-у-+2)=7

25-у-у-2=7

-2у=-16

у=8( во втором бидоне;

х=28-8=20(л)-краски в первом бидоне.

доказательство: a и b  -  острые углы тупоугольного треугольника, значит угол с тупой и

0< a< 90,0< b< 90,90< c< 180 и

cos c< 0,cos a> 0,cos b> 0 (*)

  tga*tgb< 1 равносильно неравенству

tga*tgb-1< 0

рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы

tg x=sin x\cos x

cos (a+b)= cosa*cosb- sinasinb

cos(180-a)=-cos a

и соотношение углов треугольника a+b+c=180 и учитывая (*):

tga*tgb-1=sina\cos a*sin b\cos b-1=(sinasinb-cosa*cosb)\(cos a*cos b)=

=-cos(a+b)\(cos a*cos b)=cos(180-(a+b))\(cos a*cos b)=cos c\(cos a*cos b)< 0,

а значит tga*tgb-1< 0, или tga*tgb< 1, что и требовалось доказать.

найдем время, затраченное на путь из города в село.

t=s/v

t₁=s/(2·50) + s/(2·60) = s/100 + s/120 = 11s/600 

найдем время, затраченное на обратный путь.

s=50t₂/2 + 60t₂/2 = 25t₂ + 30t₂ = 55t₂

t₂=s/55 

сравниваем время.

11s/600 > s/55 ⇒ меньше времени затрачено на обратній путь

ответ. быстрее автобус проехал обратный путь. 

4·(7+9) = 4·16 = 64 (д.)

ответ. 64 детали.