Ученик за одну неделю получил 17 оценок каждая из них 2, 3, 4 или 5. среднее арифметическое этих 17 оценок целое число. докажите, что какую то оценку он получил не более двух раз.

Пусть это не так, и все оценки получены не менее трёх раз.  рассмотрим группу из трёх двоек, трёх троек, трёх четвёрок и трёх пятёрок; останутся нерассмотренными еще 5 каких-то оценок. сумма оценок в группе равна 3 * (2 + 3 + 4 + 5) = 42 = 8 mod 17 для того, чтобы сумма всех оценок  делилась на 17, необходимо, чтобы сумма оставшихся оценок давала 9 по модулю 17. но так как минимальная возможная сумма пяти оценок 10, а максимальная 25, то этого произойти не может.

пусть х км/ч скорость течения, тогда можно составить уравнение:

34/(15+х) = 26/(15 - х)

34/(15+х) - 26/(15 - х)  = 0

34 * (15 - х) - 26 * (15+х) = 0

510 - 34х - 390 - 26х   = 0

60 х = 120

х = 2

2 км/ч скорость течения 

№ 2

пусть х км/ч собственная скорость теплохода, тогда (х-40) км/ч скорость течения. т.к. за 4 ч по течению он проходит такое же расстояние что за 5 ч против течения получаем уравнение:

4(х + х-40) = 5(х - (х-40))

4(2х - 40) = 5(х-х + 40)

8х - 160 = 200

8х = 360

х = 45

45 км/ч собственная скорость теплохода

45 - 40 = 5 км/ч скорость течения