Ученик за одну неделю получил 17 оценок каждая из них 2, 3, 4 или 5. среднее арифметическое этих 17 оценок целое число. докажите, что какую то оценку он получил не более двух раз.

Пусть это не так, и все оценки получены не менее трёх раз.  рассмотрим группу из трёх двоек, трёх троек, трёх четвёрок и трёх пятёрок; останутся нерассмотренными еще 5 каких-то оценок. сумма оценок в группе равна 3 * (2 + 3 + 4 + 5) = 42 = 8 mod 17 для того, чтобы сумма всех оценок  делилась на 17, необходимо, чтобы сумма оставшихся оценок давала 9 по модулю 17. но так как минимальная возможная сумма пяти оценок 10, а максимальная 25, то этого произойти не может.

если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: , где a - сторона квадрата. так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: . тогда выразим длину стороны квадрата:

 

если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: . подставив предыдущую формулу в данную, получим: .

 

таким образом мы получили бесконечно убывающую прогрессию радиусов окружностей. первый элемент , знаменатель прогресии .

сумма всех радиусов равна .

 

тогда сумма длин всех окружностей:

введём новую переменную: х в квадрате= t, тогда 9t в квадрате - 9t +2=0

d=81-72=9

t1=9-3/9*2=1/3

t2=9+3/9*2=2/3 

х в квадрате=1/3

х1=1/ корень из 3

х в квадрате=2/3

х2=корень из 2/3