2018kat

"Найти общий вид первообразных для функции"

Найти общий вид первообразных для функции

Посмотреть ответы (3)

Ответы

Ответ дал: тина136

$f(x) = \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1}$

Совокупность всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C,$

где — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int f(x) \, dx = \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx$

Теорема: если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке , то на этом промежутке функция $y = F(x) \pm G(x)$ является первообразной функции $y = f(x) \pm g(x):$

$\displaystyle \int \left(f(x) \pm g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx = F(x) \pm G(x) + C,$

где — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx =$

$\displaystyle = \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, то на этом промежутке функция y = kF(x) является первообразной функции y = kf(x):

$\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx = kF(x) + C$

Тогда $\displaystyle \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx =$

$= \displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция $y = \dfrac{1}{k} F(kx + b)$ является первообразной функции y = f(kx + b):

$\displaystyle \int f(kx + b) \, dx = \dfrac{1}{k} F(kx + b) + C,$

где — произвольная постоянная.

Найдем каждый интеграл по отдельности:

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} = \int (3 - 5x)^{-4} \, dx = \dfrac{1}{-5} \cdot \dfrac{(3 - 5x)^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C =$

$= \dfrac{1}{15(3 - 5x)^{3}} + C$

$2) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} = \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2x + C$

$3) \ \displaystyle \int e^{8x+1} dx = \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Получаем: $\displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx =$

$= \dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) имеет вид:

$\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

ответ: $\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Использованные формулы интегрирования:

$\displaystyle \int x^{a} \, dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + C, \ a \neq -1$

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}x} = \text{tg} \, x + C$

$\displaystyle \int e^{x} \, dx = e^{x} + C$

Спасибо

Ответ дал: Гость

если натуральное число не кратно 3, значит оно делится на 3 с остатком 1 или 2. то есть его можно представить в виде: (3к+1) или (3к+2), где к - натуральный индекс.

проверим каждый из вариантов:

1) (3k+1)^2 - 1 = (3k+1-1)(3k+1+1) = 3k(3k+2) - делится на 3.

2) (3k+2)^2 - 1 =(3k+2-1)(3k+2+1) = (3k+1)(3k+3) = 3(3k+1)(k+1) - делится на 3.

что и требовалось доказать.

Ответ дал: Гость

нехай частка рідини, що відлили, дорівнює х. тоді після першої операції кількість чистого спирту у суміші становить 6 * (1 - х). друга операція змінить частку чистого спирту так саме, тому його кількість у суміші становитиме 6 * (1 - х)². після цього в посудині залишається 1,5 л. чистого спирту (води у посудині 4,5 л, що втричі більше, ніж спирту).

отримуємо рівняння

6 * (1 - х)² = 1,5

(1 - х)² = 0,25

х = 0,5

отже, з посудини відлили 6 * 0,5 = 3 л спирту.