Не решая уравнение x2−3|x|+1=0, найдите сумму квадратов всех его корней

ответ: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 14

Объяснение

x^2-3*|x|+1=0

x^2=|x|^2

|x|^2 -3*|x|+ 1= 0

Замена: |x|=t>=0

t^2-3t+1=0

По теореме Виета :

t1*t2=1

t1+t2=3

t1^2+t2^2 = (t1+t2)^2 -2*t1*t2 = 3^2 -2*1 = 7

Если произведение чисел  положительно ,  то они имеют одинаковый знак ,  но поскольку  их сумма так же  положительна ,  то  оба этих числа  положительны. И очевидно ,что корни не равны нулю.

А  значит  для каждого  t возможно два значения x :

x1=t1

x2=-t1

x3=t2

x4=-t2

Сумма квадратов всех корней :

x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 2* (t1^2+t2^2) = 2*7=14

(2х в квадрате+1)в квадрате-2(2х в квадрате+1)(х+4)+(х+4) в квадрате=0

(2x^2+1)^2(-2+x+4)+(x+4)=0

(4x^4+4x^2+1)(x+2)+(x+4)=0

1) a1q^3 - a1q=18

      a1+a1q^2=15

  из второго уравнения, имеем

    a1(1+q^2)=15 => a1=15/(1+q^2)

подставим в первое уравнение значение a1,получим

    15 q^3/(1+q^2)-15q/(1+q^2)=18

15q^3-15q=18(1+q^2)

15q^3-18q^2-15q-18=0

5q^3-6q^2-5q-6=0

5q^3-10q^2+4q^2-8q+3q-6=0

(5q^3-10q^2)+(4q^2-8q)+(3q-6)=0

5q^3(q-2)+4q(q-2)+3(q-2)=0

(q-2)(5q^2+4q+3)=0

a)   q-2=0 => q=2

б)   5q^2+4q+3=0

      d=b^2-4ac=-44 - нет решений

итак, a1=15/(1+q^2)=15/(1+4)=3

то есть, a1=3 и q=2

s8=a1*(1-q^8)/(1-q)=3*(1-2^8)/(1-2)=3*255=765