6.докажите, что при любом натуральном n значение выражения 10ⁿ+19ⁿ-2 кратно 9.

По теореме эйлера:   1) при делении 10 на 9  > остаток 1,    заменяем 10 на остаток=1, имеем 1^n 2)  при делении 19 на 9 имеем остаток 1, заменяем 19 на 1,       имеем 1^n 3)  при делении 2 на 9 > остаток 2     остаток = 1^n+1^n-2=1+1-2=0   вывод:           остаток =0, значит данное выражение кратно 9.

Xкм в час скорость лодки , y км в час скорость реки, система 20\(x+y)+20\(x-y)=7 2\(x-y)=5\(x+y), введем замену a=x+y b=x-y, 20a+20b=7ab, 2a=5b a=2,5b 50b+20b=17,5b^2 b=4 a=10, 10=x+y 4=x-y x=10-y 4=10-y-y 2y=6 y=3 x=7 7км в час скорость лодки, 3 км в час скорость реки