Вычислите: 1. lim (5-3x-x^2) x> 3 2. lim 2x x> 3 √x+6 3. lim x^2-4x x> 4 x^2-16 4. lim 2sin t t> 0. t

1. lim(5-3x-x²)=5-3*3-3²= -13     x-> 3 2. lim(2x/(√x+6))=2*3/(√3+6)= 6/(√3+6)       x-> 3 3. lim((x²-4x)/(x²-16))=(4²-4*4)/(4²-16)=0/0     x-> 4 lim((x²-4x)/(x²-14))=lim(x*(x-4)/((x-4)*(x+=lim(x/(x+4))=4/(4+4)=4/8= 0,5 x-> 4                         x-> 4                                 x-> 4 4. lim(2sint/t)=2*lim(sint/t)=2*1= 2       t-> 0                 t-> 0

и т.д.

 

дальше сама))

1) 0,25 + c < 0,5b       4c< 2b-1        (1)

d = b^2 -4c > 0

b^2 > 4c

если мы теперь заменим 4с на выражение заведомо большее, а именно (2b-1), и докажем что неравенство для дискриминанта верно для любого b, то будет доказана.

b^2 > 2b-1

(b-1)^2 > 0        вообще то (b-1)^2> =0. но для неравенства b^2 > 4c знак уже будет строго больше для любого b. значит при соблюдении условия (1) дискриминант положителен. то есть уравнение имеет два различных действительных корня.  ч.т.д

2)кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13) = кор[(x-2)^2  +  (y+1)^2] +

+ кор[(x+2)^2  +  (y-3)^2].

под корнями стоят заведомо неотрицательные числа. и приравняв 0 подкоренные выражения, получим две точки: (2; -1) и (-2; 3). проверим значение выражения в этих точках и выберем минимальное:

z(2; -1) = 4кор2.

z(-2; 3) = 4кор2

ответ: 4кор2    (если строго, то надо считать частные производные ф-ии z(x,y), приравнивать их нулю и исследовать критические точки. данное решение - чисто на интуитивном уровне. ответ может быть другим.)

3) 2x^2 - 3x - 1 = 0     x^2 - 3x/2 - 1/2 = 0    x1x2 = -1/2, x1+x2 = 3/2

преобразуем искомое выражение:

(x1^2 + x1^3 + x2^2 + x2^3) / (1+x1+x2+x1x2) = ((x1^3 + x2^3) +((x1+x2)^2-

- 2x1x2))/(1+x1+x2+x1x2) = ((x1+x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2) + (9/4 + 1))/(1+3/2 -1/2) = ((3/+x2)^2 -3x1x2)  + 13/4) /2 = ((3/2)(9/4  +  3/2) + 13/4) /2 = 71/16

ответ: 71/16