Какой падеж слова на груди у меня лежал большой темный кот.

Предложный.  на чём? - на груди. проверить можно подставив вместо неодушевленного одушевлённое. т. е. кот лежал (на ком? ) на нём. оба этих вопроса - "на ком" и "на чём" относятся к предложному падежу.

Предложный падеж(на чем? )

жалость - жалел

косьба- - косил

надеялся, будет надеяяться;

реял, будет реять;

веял, будет веять;

лаял, будет лаять;

лелеял, будет лелеять