11 студентов написали тест. Учитель проверил работы и заметил, что для любых двух во теста, найдутся хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух во Докажите, что в тексте было не более 12 во

Представим себе двудольный граф: слева вершины, обозначающие студентов, справа — во Если студент ответил на во то между этим студентом и этим во проведем ребро.

Рассмотрим первую пару во Для них по условию найдется хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух во Пусть это множество из хотя бы 6 студентов называется . Тогда остальных студентов (тех, что не удовлетворяют описанному требованию) не больше 5 — это множество . Рассмотрим следующую пару во попарно отличных от предыдущих). Тогда имеет с хотя бы одно пересечение. Поэтому для пары будет хотя бы одно ребро из множества . Рассматривая далее пары и соответственно пары "берем" еще один элемент из . Так можно продолжать до тех пор, пока все элементы из , коих не больше пяти, не будут взяты. То есть всего можно добавить 2*5=10 во дополнительно к . То есть всего не более 12.

Примечание: множество делится на два множества, из каждого идут ребра к во но из каждого к ровно одному. Для того, чтобы мы могли всегда изымать элементы из надо всего лишь без ограничения общности потребовать, чтобы ребро из шло в наибольшее из множеств, на которое делится . Тогда наименьшее из этих множеств деления не превосходит 5.

учитель предварительно договорился с учениками, чтобы они вызывались отвечать независимо от того, знают ответ или не знают. но те, кто знает ответ, должны поднимать правую руку, а те, кто не знает, — левую. учитель каждый раз выбирал другого ученика, но всегда того, кто поднимал правую руку.