10 класс
1. андрей и борис бегают по круговой дорожке, причём андрей бежит
по часовой стрелке, а борис — против. если андрей увеличит свою скорость в
три раза, мальчики начнут встречаться в полтора раза чаще. во сколько раз
чаще они станут встречаться, если свою скорость увеличит в три раза борис?
2. из квадрата 5х5 вырезали четыре угловые клетки. сколько суще-
ствует способов разрезать оставшуюся фигуру на прямоугольники 1 x 3?
3. число называется палиндромом, если оно совпадает с числом, за-
писанным теми же цифрами, но в обратном порядке. сколько существует че-
тырёхзначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
4. на координатной плоскости отмечены все точки, у которых обе ко-
ординаты натуральные и не превосходят 3. за один ход разрешается назвать
любые три вещественных числа а, ъис (a +0) и удалить все отмеченные точ-
ки, которые лежат на графике функции y = ax2 + bx + c. за какое наименьшее
число ходов можно удалить все отмеченные точки?
5. в стране есть 20 прямых автотрасс. любые две автотрассы пересе-
каются, и на их пересечении расположен город. через город а проходит семь из
этих автотрасс, через город в — четыре, через город с — три, а через каждый
из оставшихся городов — по две. сколько городов в этой стране?
6. биссектрисы углов ви d вписанного четырёхугольника abcd пе-
ресекаются на его диагонали ас. на прямой da отметили точку е такую, что
вершина а является серединой отрезка de. докажите, что описанная окруж-
ность треугольника dbe касается прямой dc.​