Правильный тетраэдр dabc размещён в прямоугольной системе координат так , что центр грани abc совпадает с началом координат , а вершина d имеет координаты (0; 0; 2корень 6) . найдите координаты вершин а, в и с, если вершина а лежит на оси абсцисс.

У  правильного тетраэдра dabc все грани и, следовательно, все рёбра равны. примем ребро равным а, центр основания - точка о (точка пересечения высот).проведём осевое сечение через ребро ад.имеем равнобедренный треугольник аде, у которого ае = де = а*cos 30 = a√3/2. проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3. по пифагору высота до =  √(а² - (а√3/3)²) =  √(а² - (а²/3)) = а√(2/3). приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3), возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. отсюда а =  √36 = 6. отрезок ао = (2/3)ае = (2/3)*(  a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3. ое = (1/2)ао =  √3. получаем координаты вершин: а(2√3; 0; 0), в(-√3; -3; 0), с(-√3; 3; 0).