На городской тур проходят те учащиеся, которые набрали на районном туре не менее 10 баллов или решили полностью одну из самых сложных задач 6 или 7. За полное решение задач 1-4 даётся 2 балла, задач 5-6 – 3 балла, задачи 7 – 4 балла. Не могу подобрать формулу в колонку

по формуле n= найдем, сколько было круглых фигурок -  = 4; всего фигурок было 15+4=19. ответ: 19

обозначим уменьшаемое как abc. тогда нужное нам число - это cba, где c, a, b = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

по условию, abc - cba = xyz (*), где x, y, z = {a,b,c}. заметим, что abc - cba > 0, и, следовательно, a > c, т.е. c < 9 (**)

из (*) получим уравнения для вычитаний из младшего, среднего и старшего разрядов соответственно (a):

10 + c - a = z (заняли "1" из среднего разряда) (a.1)

10 + (b - 1) - b = 9 при любом b (заняли "1" из старшего разряда)

a - 1 - c = x (a.2)

уравнение (*) приобретает вид:

abc - cba = x9z (***)

но y = 9 не может быть цифрой c, поскольку c < 9 согласно (**). следовательно, возможными комбинациями x,z будут: (x,z) = {(a,,,,b)}.

рассмотрим систему уравнений (a) для всех возможных случаев:

1: x = a или b, z = c.

(a.1): 10 + c - a = c => a = 10 - противоречие (должно быть a < 10).

2: x = c, z = a.

(a.1), (a.2): 10 + c - a = a, a - 1 - c = c => 10 + c = 2*(2c + 1), a = 2c + 1 => 8 = 3c, a = 2c + 1 => c = 8/3 - противоречие (c должно быть целым числом).

3: x = c, z = b.

(a.1), (a.2): 10 + c - a = b, a - 1 - c = c => 10 + c - (2c + 1) = b, a = 2c + 1 => 9 - c = b, a = 2c + 1 => для всех возможных c: c = {0,1,2,3,4} получим соответствующие им значения a и b. (a,b,c) = {(1,9,,8,,7,,6,,5,4)}. подстановкой в (***) получим единственно возможное решение: (a,b,c) = (9,5,4), т.е a = 9, b = 5, c = 4.

итак, нужное нам число это cba = 459, другие два - 954 и 495 соответственно.

проверка: 954 - 459 = 495.

введем обозначения:

s-i - высказывание: ученик s (где s - первая буква фамилии) убирал i-й класс.

p: (q-i, r-i),  - ученик p высказал q-i и r-i

s-i = f - высказывание s-i - ложно, а s-i = t высказывание s-i - истинно.

тогда, по условию :

1) a: (a-9, c-7)

2) k: (к-9, а-8)

3) с: (с-8, к-10),

где в каждой паре (q-i, r-i) только одно из высказываний является верным (*).

предположим в начале, что а-9 = t. тогда из 2) и (*) следует, что (k-9 = f, а-8 = f) - противоречие, т.к. одно из высказываний в паре должно быть верным. следовательно, предположение а-9 = t - не верно, и а-9 = f.

пусть a-9 = f. тогда из 1) и *) следует, что c-7 = t. из 3) и *) следует, что c-8 = f. откуда получим из 3), что к-10 = t. значит, согласно 2) (к-9 = f, а-8 = t)

итак, c-7 = t, к-10 = t и а-8 = t следовательно, савельев убирал 7-й класс, костин - 10-й, андреев - 8-й класс. давыдов, следовательно, убирал оставшийся, 9-й класс (т.е. д-9 = т).