Через середину наибольшей стороны треугольника проведена прямая, отсекающая от него треугольник, подобный данному. найдите наименьшую сторону отсеченного треугольника, если стороны исходного треугольника равны: а). 6,7,8 б). 6,7,9 в). 6,7,10. сколько решений имеет в каждом случае?

прямая делит большую сторону на два равных отрезка, поэтому  коэффициент подобия равен 1/2. 

в каждом случае имеет только одно решение, так как наименьшая сторона всегда будет равна 6*1/2=3:

      а) 3

      б) 3

      в) 3

так как все внутренние углы треугольника равны 180°, то

угол с=180-(65+57)=58°

согласно теореме синусов

  sin b              sin c            sin a

= =

      ac                  ab                    bc

тогда  ав = ас * sin с / sin b

треугольник авс - равнобедренный, поэтому

sin с = sin (π - 2*b) = sin 2*b = 2 * sin b * cos b

угол при основании равнобедренного треугольника всегда острый, поэтому

cos b = √(1 - sin²b) = √(1 - (3 * √ 23 / 16)²) = √(1 - 207 / 256) = √(49 / 256) = 7/16

тогда  sin c = 2 * sin b * 7/16 = sin b * 7/8 ,  следовательно

ab = ac * 7 / 8 = 16 * 7 / 8 = 14