соотношения между сторонами и углами треугольника. неравенство треугольника
теорема 1. в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
доказательство. пусть в треугольнике abc сторона ав больше стороны ас
докажем, что ∠ с > ∠ в. отложим на стороне ав отрезок ad, равный стороне ас (рис.1, б). так как ad < ав, то точка d лежит между точками а и в. следовательно, угол 1 является частью угла с и, значит, ∠ c > ∠ 1. угол 2 — внешний угол треугольника bdc, поэтому z 2 > z в. углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника adc. таким образом, ∠ с > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ b. отсюда следует, что ∠ с > ∠ в.
справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
теорема 2. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
из теоремы 1 вытекает
следствие 1. если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
доказательство следствия проводится методом от противного.
из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
из теоремы 2 получаем
следствие 3. в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
с использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
теорема 3. каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
следствие 4. для любых трех точек а, в и с, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
ав < ас + св, ас < ав + вс, вс < ва + ас.
каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
Популярные вопросы