Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 6 см і ділить сторону паралелограма навпіл. знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 30 градусів.

Авсd- параллелограмм, ве - высота,  ∠а=30градусов поскольку, по условию ,   ae=ed,   то треугольники abe и dbe равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, ae=ed и  be - общая сторона, а be образует с ad   угол 90 градусов).   таким образом, угол adb равен 30 градусам. соответственно, угол dbc также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых bc и ad. из прямоугольного треугольника   abe определим, что угол abe равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов. откуда (из равенства треугольников abe и dbe) угол ebd также равен 60 градусов.  найдем длину диагонали.  be / bd = cos  ∠ebd  be / bd = cos 60  подставим значение  cos 60   и получим:   be / bd = 1/2  по условию be = 6 см, откуда  6 / bd = 1/2  bd = 12.  ответ: длина диагонали параллелограмма равна 12 см

решение. пусть авс – данный равнобедренный треугольник с основанием ас, и серединой ас – точкой к, тогда

ак=ск, ав=вс

опустим перпендикуляры с точки к на боковые стороны ав,вс (по определению они будут расстояниями от точки до сторон) соответственно кр и кт

площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она

площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними

площадь треугольника вкс равна 1\2*кт*bc=1\2*cк*вк*sin (bkc)

площадь треугольника aкс равна 1\2*кp*ab=1\2*aк*вк*sin (bka)

sin (bka)= sin (bkc) как синусы смежных углов, значит

  1\2*aк*вк*sin (bka)= 1\2*cк*вк*sin (bkc),

значит 1\2*кт*bc=1\2*кp*ab, отсюда

кт=кр, что и требовалось доказать.

доказано