Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой высота равна корень из 3, а плоский угол при вершине равен 30 градусов

Это не простая . правильная пирамида- в основании квадрат, вершина проектируется в центр квадрата. рассмотрим боковой треугольник. надо найти связь между боковым ребром и стороной основания. обозначим их а и х соответственно. по теореме косинусов x²= a²+a²- 2a·a·cos 30, отсюда х²=а²(2-√3) высота бокового треугольника (апофема) по теореме пифагора  l²= а²- х²/4/ рассмотрим треугольник, сторонами которго является апофема, высота пирамиды и третья сторона соединияет их основания. эта третья сторона половина стороны квадрата, т.е х/2 тоже применим терему пифагора      а² -х²/4 = (√3)²+ х²/4, х²/2=а²-3, х²=2а²-6. приравняем правые части х². это выражение и то что было выше и найдено по теореме косинусов. 2а² - 6 = а² (2-√3) или а²(2-2+√3)=6, отсюда, найдем а²= 6: √3.  надо только выразить х². объем пирамиды равен 1/3 х² ·√3= = 2-√3

пусть вс=х. то ad=5x - по условию

 

an=(ad-bc)/2=(5х-х)/2=2х

построим вторую высоту се.тогда треугольники аmn и асе подобны

так как трапеция равнобокая то  площади  аmn и асе

s1/s2=k², k=ae/an=(ad-ed)/an=(ad-an)/an=3/2=1.5

s(асе)=1.5²*4=9

c другой стороны

s(асе)=ае*ес/2=3x*h/2     3x*h=2*s=2*9=18

площадь трапеции s=(bc+ad)*h/2=(5x+x)h/2=3xh=18 см²

по расширенной тееореме синусов

a\sin a=b\sin b=c\sin c=2*r

a=2*r*sin a

a=60 градусов

а=2*10*sin 60=10*корень(3)

сумма углов треугольника равна 180 градусов

третий угол равен c=180-60-15=105

площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

s=1\2*a*b*sin c=1\2a*2r*sin b*sin c=a*r*sin b*sin c

s=10*корень(3)*10*sin 15*sin 105=

=50*корень(3)*sin 30=25*корень(3)

(воспользовались тригонометричискими формулами и двойного угла

sin(90+a)=cos a

2*sin a* cos a=sin (2*a)

sin 105=sin (90+15)=cos 15

2sin 15*cos15=sin 30)

ответ: 25*корень(3)