Площадь параллелограмма `ABCD` равна `S`. Найти площадь заштрихованной фигуры, если:

решение: пусть abcd – данная трапеция, ab||cd,ad=bc,ab< cd.

угол adc=угол bcd=a

пусть о – центр вписанной в трапецию окружности. k, l, m, n – точки касания окружности со сторонами ab,bc,cd,ad соотвеcтвенно.

площадь трапеции равна (ab+cd)\2*2r=(ab+cd)*r.

центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

угол odc=угол ocd=а\2

угол oab=угол oba =90-а\2.

далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)

угол kon= угол mon=180-а.

угол kol= угол mol=a.

площадь klmn равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).

dn=cn=r*ctg (a\2), cd=2*r*ctg (a\2).

al=bl=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), ab=2*r*tg (a\2)

площадь трапеции abcd равна (ab+cd)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=

2*r^2*(tg(a\2)+ctg(

площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции

2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg( *100%=

=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=

=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %

ответ: (sin a^2 * 50) %

чтоб авм - был равнобедренным треугольником необходимо и достаточно, чтобы точки а,в,м не лежали на одной прямой, расстояние от одной из точек к двум другим было одинаковым.

возьмем точку м. место точки равноудаленной от двух данных точек(у нас ам=вм) есть серединный перпендикуляр к отрезку соединяющим эти точки(к отрезку ав) - то есть пряммая, что проходит через середину отрезка ав, и точку м, перепендикулярно к отрезку ав - будет гмт третьей веришины равнобедренного треугольника.

возьмем точку а. тогда у нас ав=ам. место точки м будет круг с центром точке а и радиусом ав, исключая точку в, и точку в", лежащую на прямой ав, на расстоянии ав, отличной от точки в(в" симметричная точке в относительно точки а)

возьмем точку в.тогда у нас ав=вм. место точки м будет круг с центром точке в и радиусом ав, исключая точку а, и точку а", лежащую на прямой ав, на расстоянии ав, отличной от точки а(а" симметричная точке а относительно точки в)

прямоугольник авсд - основание параллелепипеда, прямоугольник со сторонами 9 и 12 см. ас и вд - диагонали.

треугольник вас - прямоугольный (по условию), ас - гипотенуза.

ас2=ав2+вс2,  ас2=81+144=225, ас=15 см.

треугольник асс1 - прямоугольный, так как сс1 - высота параллелепипеда.

ас1 - гипотенуза, ас, сс1 - катеты, угол сас1=45 град - значит треугольник асс1 - равнобедренный, по этому ас=сс1=15 см.

площадь бок. поверхности= периметр основания*высота

пл.= (ав+вс)*2*сс1    пл.= (9+12)*2*15=630 см2

ответ: 15 см - высота параллелепипеда, 630 см2 - площадь боковой поверхности параллелепипеда.

1). авсд - трапеция. ад = 60, вс = 20, ав = 13, сд = 37.s = ?

проведем две высоты вк и ср. тогда:

ак + рд = 60 - 20 = 40

или из пр. тр-ов авк и сдр:

кор(13^2 - h^2)  +  кор(37^2 - h^2) = 40,  h = вк = ср.

решим уравнение относительно h:

169 - h^2  + 2кор((13^2 - h^2)(37^2 - h^2)) + 1369 - h^2 = 1600.

кор((13^2 - h^2)(37^2 - h^2))= h^2 + 31

(13^2 - h^2)(37^2 - h^2) = h^4 + 62h^2 + 961

1600h^2 = 230462

h^2 = 144

h = 12.

s = (ад+вс)*h/2 = 80*6 = 480

ответ: 480 см^2.

2)ас = 39, ав = сд = 17, ад = 44

проведем высоты вк и ср. из пр.тр-ов аср и срд:

кор(39^2 - h^2) + кор(17^2 - h^2) = 44

1521 - h^2 + 289 - h^2 + 2кор((39^2 - h^2)(17^2 - h^2)) = 1936

кор((39^2 - h^2)(17^2 - h^2)) = h^2 + 63

(39^2 - h^2)(17^2 - h^2) = h^4 + 126h^2 + 3969

1936h^2 = 435600

h^2 = 225

h= 15

тогда ак = рд = кор(17^2 - 15^2) = 8

тогда вс = ад - 2*8 = 44 - 16 = 28.

s = (ад+вс)*h/2 = (44+28)*15/2 = 540

ответ: 540 см^2.

3) по формуле площади тр-ка:

s = (1/2) a^2 * sin70 = 0,5*0,93 = 0,47

ответ: 0,47 см^2.

4) по формуле площади пар-ма:

s = absin70 = 6*0,93 = 5,6

ответ: 5,6 см^2.