2). у прямокутнику abcd кут асв дорівнює 52°. знайдіть
більший кут між діагоналями прямокутника.

угол 2=83+14=97

угол 1 + угол 2 =83+97=180 следовательно

mn параллелельна ab (по теореме об односторонних углах их сумма равна180)

в основании правильной 4-уг. пирамиды лежит квадрат, так как боковое ребро образует угол в 45 градусов, то мы получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором высота и 1/2 диагонали квадрата катеты, а боковое ребро -гипотенуза , по теореме пифагора находим катеты (а), они у нас равны между собой и равны а^2+а^2=4^2     2а^2=16     а^=8 а=2v2см  - это мы нашли высоту 

площадь боковой поверхности пирамиды равна 4   площадям боковых граней, сторона квадрата (b в квадрате), лежащего в основании   равна 2а в квадрате (по теореме пифагора) b^2=2а^2=2*(2v2)^2     b=4см   найдем апофему (с) с^2=4^2-(b/2)^2=16-4=12   с=v12   c=2v3 cм

s=4*(1/2)*b*c=2*4*2v3=16v3 кв.см

маємо прямий кут с, який дорівнює 90°.

за теоремою про суму кутів трикутника знаходимо кут а:

< а=180°-(90°+22°) = 68°

за теоремою синусів знаходимо катет b:

а/sin a = b/sin b

b=a·sin b / sin a ≈ 6·0,3746/0,9272 ≈ 2,4 (см)

за теоремою піфагора знаходимо гіпотенузу с:

а²+b²=c²

c²=36+5,76=41,76

c=6,46 cм

відповідь. < а=68°, b=2,4 см, с=6,46 см. 

а). если через прямую и точку можно провести более одной плоскости, значит точка эта лежит на прямой.

итак центр о описанной окружности лежит в середине кр. тогда угол кмр - прямой. км - гипотенуза пр. тр-ка.

другой катет:

мр = кор(25-16) = 3

площадь:

s = 3*4/2 = 6

ответ: 6

б) делаем вывод, что центр вписанной окружности лежит на высоте(она же биссектриса) ам, проведенной из вершины м к стороне кр.

значит треугольник кмр - равнобедренный и км = мр = 4. кр = 5

найдем площадь:

полупериметр: р= (4+4+5)/2 = 6,5

площадь по формуле герона:

s = кор(6,5*2,5*2,5*1,5) =(5кор39)/4 = 7,8 (примерно)

в) прямая пересекает плоскость только в одной точке, значит центр вписанной окружности лежит на медиане рв, а значит рв - и биссектриса.

следовательно тр. кмр - равнобедренный, кр = рм = 5, км = 4

полупериметр:

р = (4+5+5)/2 = 7

площадь по формуле герона:

s = кор(7*2*2*3) = 2кор21= 9,2 (примерно).