Відрізок dc — перпендикуляр до площини прямокутного трикутника abc (∠acb = 90°), dc = 9 см, ac = 15 см, bc = 20 см. відрізок de — перпендикуляр, опущений із точки d на пряму ab. знайдіть кут між прямою de та площиною abc. з малюнком будь-ласка.

угол авс= 180-60=120 град., значит углы при основании в треуг. авс равны угол вас=вса=(180-120) : 2= 30 град.,по теореме о сумме углов в треуг. и по определению равнобедр. треуг.

имеем прямоугольн.треуг. адс, где дс- растояние от с до ав,   угол адс=90 град., угол дас=30 град.,ас=37 см и гипотенуза.

по теореме (катет, противолежащий углу в 30 град., равен половине гипотенузы) дс=37 : 2=18.5 см

sabcd=sina*ab*ad=19,2

hmax=19,2/4=4,8

проводим ск-высота.

рассмотрим треугольник скд - прямоугольный.

пусть кд=х, тогда сд=2х (катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

по теореме пифагора: ск²=сд²-кд²

                                    ск²=4х²-х²=3х²

                                    ск=х√3 

ав=ск=х√3 

так как в трапецию можно вписать окружность, сумма основ равна сумме боковых сторон. составляем уравнение.

ав+сд=вс+ад

х√3+2х=8-х+8

х=16/(√3+3)

площадь трапеции s=1/2 (вс+ад)·ск

ответ. 64√3 / 3 

1. пусть a,h - основание и высота основного треугольника.

m,h - основание и высота отсеченного треугольника.

так как m - средняя линия, то:

m = a/2, h = h/2

значит площадь отсеченного треугольника - в 4 раза меньше исходного.

ответ: s/s = 1/4.

2. abcd - равнобедренная трапеция (около нее можно описать окружность)

т.о - середина ad (большего основания). ad = 2r - диаметр окр-ти. вс = r - радиус окр-ти.

тогда радиусы ов и ос разбивают трапецию на три правильных треугольника со стороной r.

значит углы трапеции: 60; 60; 120; 120 гр.

3. рисуем тр. авс так, что угол в - наибольший ( тупой). проведем биссектрису вк и высоту вм из вершины этого угла.

пусть угол а - наименьший, а = х.

тогда в = 4х, с = 180 - 5х.

в треугольнике вкм угол вкм = 90 - 12 = 78 гр. он является внешним к тр-ку авк. значит он равен сумме внутренних углов а и в/2.

х + 2х = 78

3х = 78

х = 26,  4х = 104, 180 - 5х = 50

ответ: 26, 50, 104 гр.

4. рисуем две касающиеся окружности: левая (меньшая) о1 и правая(большая) о2. проводим прямую через точки о1 и о2. крайняя левая точка пересечения с окр о1  пометим как а. проводим из точки а касательную ав к окр. о2. в - точка касания.

рассмотрим прям. тр-ик аво2. в нем:

ао2 = 2r1 + r2 = 10 + r2,  (гипотенуза).

о2в = r2 - катет против угла в 30 гр.

значит 2r2 = 10 + r2

r2 = 10,  2r2 = 20

ответ: 20