Основою 4-кутної піраміди є ромб зі стороною а, бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом альфа, висота піраміди дорівнює н. знайдіть площу повної поверхні піраміди

рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой f, высотой h и соединяющим их основания радиусом вписанной окружности основания r

h = f*sin(α)

f = h/sin(α)

r = f*cos(α) = h/sin(α)*cos(α) = h*ctg(α)

площадь одной боковой грани

s₁ = 1/2*a*f = 1/2*a*h/sin(α)

площадь ромба - произведение боковой стороны на высоту к ней, высота = диаметру вписанной окружности

s₂ = a*2*r = a*h*ctg(α)

полная площадь

s = 4*s₁ + s₂ = 2*a*h/sin(α) + a*h*ctg(α)

sabc - пирамида. из условия следует, что высота пирамиды so проецируется в середину гипотенузы (центр описанной окр-ти). плоск sac перп. пл-ти abc.

треуг.sac - прямоуг и равнобед.

сформируем линейный угол искомого двугранного угла:

проведем bf перпенд ас, bd перп. sc, fd перп sc.

bf перпенд fd ( fd перп всей sac), треуг. bfd - прямоуг.

угол bdf = b = ?

пусть с = ас   - гипотенуза тр. авс.

выразим через с и данный угол( а = вас) все необходимые компоненты:

fb = c*cosa*sina,   fc = c*sina*sina = c*sin^2(a), fd = fc*sin45 =

=(c*sin^2(a)) / кор2.

tgb = fb/fd = [c*cosa*sina*кор2] /(c*sin^2(a)) =(кор2)ctga

отсюда:

b = arctg[(кор2)ctga]