С. прямоугольник abcd перегнули по диагонали bd так, что плоскости abd и cbd оказались перпендикулярными. найдите расстояние между точками а и с, если меньшая из сторон прямоугольника равняется 4 см, а угол между его диагоналями - 60°.

дано: abcd – прямоугольник, (abd) ⊥ (cbd), ab = 4 см, ∠aob = 60°

найти: ac (после сгиба)

1) до сгиба:

δaob – равносторонний   ао = во = 4 см   ас = bd = 2 × 4 = 8 см

2) после сгиба:

δbad (∠bad = 90°):

по теореме пифагора: ad = √bd² – ab² = √8² – 4² = √64 – 16 = √48 = 4√3 см

ak = ab × ad / bd = 4 × 4√3 / 8 = 2√3 см = mc

δakb (∠akb = 90°):

по теореме пифагора: bk = √ab² – ak² = √4² – (2√3)² = √16 – 12 = √4 = 2 см

bk = md = 2 см

km = bd – (bk + md) = 8 – (2 + 2) = 4 см

δkmc (∠kmc = 90°):

по теореме пифагора: kc = √km² + mc² = √4² + (2√3)² = √16 + 12 = √28 = 2√7 см

δakc (∠akc = 90):

по теореме пифагора: ac = √ak² + kc² = √(2√3)²   + (2√7)² = √12 + 28 = √40 = 2√10 см

х -сторона δ

s=х²√3/4

х²-х²/4=(2√3)²

х=4

s=4√3

возможны два случая: 1. если треугольник abc правильный, то угол асв = 60 градусов.2. в равнобедренном треугольнике прямая, содержащая высоту, совпадает в прямой, содержащей серединный перпендикуляр. ac=cb=ch=co=ao=bo и ab=ah=bh  угол асв = 120 градусов.