Число діагоналей опуклого многокутника дорівнює 54. знайти кількість його сторін.

Формула для нахождения числа диагоналей у выпуклого многоугольника d=n(n-3)\2        по условию  n(n-3)\2=54      n(n-3)=54*2    n(n-3)=108 n²-3n-108=0      d=3²-4*(-108)=9+432=441      √d=√441=21    n1=(3+21)\2=24\2 =12      n2=(3-21)\2=-9 посторонний корень.значит число сторон  многоугольника равно 12.  можно проверить  12(12-3)\2=(12*9)\2= =108\2=54

(180-54): 2=63 угол е и с при основании

180-90-63=27 угол есф

по теореме о сумме углов в треуг.(180 градусов)

проведем радиусы ао и ов. 

угол амв - вписанный угол опирающийся на дугу ав, значит угол амв=1/2 градусной меры дуги ав, следовательно градусная мера дуги ав=2*30=60*. 

угол аов-центральный угол, опирающийся на дугу ав, значит его градусная мера равна градусной мере дуги ав, а значит угол аов=60*.

треугольник аов-равнобедренный (т.к. ао=ов-как радиусы одной окружности), следовательно угол оав = углу ова=(180-60): 2=60*, а следовательно треугольник аов является и равносторонним, значит ао=ов=ав=10см. 

ответ: ав=10см.