Найдите объем правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно b и образует угол α с плоскостью основания пирамиды.

боковое ребро - b

высота пирамиды h=b*sin  α

проекция b на плоскость основания b " =  b* cos α 

медиана основания   m = 3/2 * b " = 3/2 *    b* cos α 

сторона основания   a = m / sin60 =  3/2 *    b* cos α   /  √3/2 =√3*b*cos α

площадь основания so = a^2 *sin60 = (√3)^2*b^2*cos^2 α *√3/2 = 3√3/2 *b^2*cos^2 α

объем   пирамиды v = 1/3 *h*so = 1/3 *b*sin  α *3√3/2 *b^2*cos^2 α =√3/2 *b^3*sin α*cos^2 α

ад пересекает се в точке о

так как треугольник авс равнобедренный, то угол а = углу в.

так как ад и се бисектриссы равных углов, то угол дав =углу дас = углу все = углу еса.

рассмотрим треугольники аес и сда

ас - общее

угол дас = углу еса ( по доказанному выше)

угол вас = углу вса (так как треугольник авс равнобедренный)

следовательно треугольники равны по 2 ому признаку.

попытаюсь прикрепить рисунок с не получилось.

пусть ав и ас - данные касательные. ос = 12 см - радиус окружности. через точки а и о проведем секущую. она пересечет окружность в точках м (ближняя к а) и n. ам = ?

из прям. тр-ка аос:

ас = ос/tg30 = 12кор3 см.

пусть теперь ам=х, тогда аn = 24+х.

по теореме о касательной и секущей:

ас^2 = ам*an.

432 = х(24+х).        x^2 + 24x - 432 = 0.    d = 2304. корd = 48.

тогда подходящий корень:

х = (-24+48)/2 = 12 см.

ответ: 12 см.