для начала необходимо получить зависимость силы натяжения нити t от угла наклона к горизонтали α, т.е. функцию t(α)
разумно в данном случае будет направить ось x горизонтально по движению бруска, а ось y вертикально вверх. тогда, написав уравнения динамики в проекциях на них, получим:
x: t cosα = u n
y: n + t sinα = mg
решая эту систему уравнений (например, выражая из второго уравнения n и подставляя в первое), получим искомую функцию:
t(α) = (u mg)/(u sinα + cosα)
заметим, что числитель данной функции есть величина постоянная, решающую роль играет только знаменатель, т.к. только он зависит от угла. проще всего, по-моему, будет ввести дополнительную функцию ψ(α) = u sinα + cosα. очевидно, сила натяжения минимальна в том случае, когда функция ψ(α) принимает наибольшее значение, при этом найденный угол α* (при котором достигается максимум функции ψ(α)) будет являться искомым
условия максимума:
(dψ)/(dα) = 0; (d²ψ)/(dα²) < 0
найдем первую производную:
(dψ)/(dα) = u cosα - sinα.
ясно, что первая производная обращается в ноль при значении u = tgα. мы можем предположить, что найденный угол α* = arctg(u) и есть искомый
найдем вторую производную:
(d²ψ)/(dα²) = - u sinα - cosα < 0
действительно, u - величина положительная, а угол между нитью и горизонталью лежит на отрезке α ∈ [0; π/2). следовательно, найденный угол α* - искомый. подставим значение u = tgα* в функцию t(α):
t(α*) = tmin = (u mg)/(cosα [1 + u²])
из тригонометрии: cosα = 1/√[1+ctg²α*] = u/√[1+u²]
окончательно получим:
tmin = (u mg)/√[1+u²]
Популярные вопросы