Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Нет, не может. Докажем методом от противного. Предположим, что найдутся два натуральных числа k и n такие, что n(n+1)=2k(2k+2). Отметим числа 2k и 2k+2 на числовой оси и рассмотрим два случая: n<2k и n>2k.
Если n<2k, то n+1<2k+2, поэтому n(n+1)<2k(2k+2). Противоречие.
Если n>2k, то n+1>2k+2, поэтому n(n+1)>2k(2k+2). Противоречие.