долго думал)
итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.
следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.
требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.
воспользуемся стандартным алгоритмом уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a
a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.
угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)
в знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.
крутим ск на 45 градусов.
из аналитической известно, что выражения старых координат через новые:
x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)
y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)
подставим в первое уравнение основной системы. получим
x'^2+y'^2 = 2a/3 это
во втором уравнении
y' = (-a^(1/3))/(2*x') это гипербола.
теперь рассматриваем различные случаи значений а.
а=0 => одно решение (0; 0)
подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.
x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0
исследуем его дискриминант.
(1/9)*a^4-a^(2/3) > = 0 , откуда a^(10/3) > =9 => a> = 9^(3/10)
ответ: a=0 один корень
а = 9^(3/10) два корня
a > 9^ (3/10) четыре корня!
Популярные вопросы