Целые числа m и n такие, что m2+9mn+n2 делится на 11. докажите что выражение m2-n2 делится на 11

Преобразуем исходное выражение, выделив полный квадрат: m^2+9mn+n^2 = (m+n)^2+7mn. по условию  (m+n)^2+7mn = 11k, где k - целое. отсюда (m+n)^2 = 11r и 7mn = 11s, где r и s - целые. из 7mn = 11s следует, что по крайней мере либо m = 11p, либо n = 11t, где p и t - целые. предположим, что m = 11p, тогда из   (m+n)^2 = 11r следует, что и n = 11t. значит и m и n оба кратны 11, соответственно их сумма m+n и разность m-n также кратны 11.  тогда m^2-n^2 = (m+n)(m-n) = 11f, где f - целое.

При возведении степени в степень - показатели перемножаются, а приделении степей с одинаковым основанием показатели вычитаются. a^(-12)^a^(-15)= a^3.