Как правильно: «чуть ли не...» или «чуть ли ни...»?

Например: «Чуть ли нЕ каждый день об этом рассказывали» или «Чуть ли нИ каждый день об этом рассказывали». Как правильно писать? Через -НЕ или через -НИ? Возможны оба варианта или только один? Какое здесь действует правило (ответ обоснуйте)?