Как правильно написать?

Вышел небольшой спор с учителем русского языка. Подскажите как правильно написать: Гроб с останками (Н,н)еизвестного (С,с)олдата, поднятый на плечи тех, кому выпала честь нести его, медленно поплыл к воротам Александровского сада и Кремлевской стене. Дак с какой же буквы надо писать? Большой или маленькой? Я утверждал что это имя собственное, являющееся символом всех солдат, погибших на войне. Учитель утверждал что это не так... Так же в предложении: Цель пришедшего на вечер ученого секретаря одного из (М,м)осковских НИИ состояла в том, ... Помогите пожалуйста =)